Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.
Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4
Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.
У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Этот ряд чисел называется рядом целых чисел .
Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами . А слева от нуля идут целые отрицательные числа.
Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.
– это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.
Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.
Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.
Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.
Неположительные целые числа
другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа
– это положительные целые числа.
Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7 °C тепла. Если температура понизится на 4 °C, то термометр будет показывать 3 °C тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:
Примечание: все градусы пишутся с буквой C (Цельсия), знак градуса отделяется от числа пробелом. Например, 7 °C.
Если температура понизится на 7 °C, то термометр будет показывать 0 °C. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:
Если же температура понизится на 8 °C, то термометр покажет -1 °C (1 °C мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.
Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:
1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:
2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:
Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.
Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.
Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).
Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).
Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.
Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .
Сравнить два целых числа - значит, узнать, какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.
Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:
1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:
1 > 0; 15 > -16
2) Любое отрицательное число меньше нуля:
7 < 0; -357 < 0
3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.
К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.
Натуральные числа — это положительные целые числа.
К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)
Латинской буквой \mathbb{N} — обозначается множество натуральных чисел .
К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).
Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .
Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.
Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:
(+11) + (+9) = +20
Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:
(-7) + (+8) = +1
Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+ », если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «− », если исходные числа были с разными знаками:
(-5) \cdot (+3) = -15
(-3) \cdot (-4) = +12
Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел :
+ \cdot + = +
+ \cdot - = -
- \cdot + = -
- \cdot - = +
Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:
Знак произведения будет «+ », если количество множителей с отрицательным знаком четное и «− », если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.
(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120
Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+ », а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «− ».
(-25) : (+5) = -5
Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел a , b и c :
В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.
Вначале вспомним про натуральные числа ℕ . Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.
Определение 1. Целые числа
Целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль.
Множество целых чисел обозначается буквой ℤ .
Множество натуральных чисел ℕ - подмножество целых чисел ℤ . Любое натуральное число является целым, но не любое целое число является натуральным.
Из определения следует, что целым является любое из чисел 1 , 2 , 3 . . , число 0 , а также числа - 1 , - 2 , - 3 , . .
В соответствии с этим, приведем примеры. Числа 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 являются целыми числами.
Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.
Началу отсчета на координатной прямой соответствует число 0 , а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число.
В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.
Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.
Определение 2. Положительные целые числа
Положительные целые числа - это целые числа со знаком "плюс".
Например, число 7 - целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число 0 . Другие примеры положительных целых чисел: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .
Определение 3. Отрицательные целые числа
Отрицательные целые числа - это целые числа со знаком "минус".
Примеры целых отрицательных чисел: - 528 , - 2568 , - 1 .
Число 0 разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным.
Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число.
Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.
Определение 4. Положительные целые числа
Положительные целые числа - это целые числа, которые больше нуля.
Определение 5. Отрицательные целые числа
Отрицательные целые числа - это целые числа, которые меньше нуля.
Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.
Ранее мы уже говорили, что натуральные числа - это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.
Важно!
Любое натуральное число можно назвать целым, но любое целое число нельзя назвать натуральным. Отвечая на вопрос, являются ли являются ли отрицательные числа натуральными, нужно смело говорить - нет, не являются.
Дадим определения.
Определение 6. Неотрицательные целые числа
Неотрицательные целые числа - это положительные целые числа и число нуль.
Определение 7. Неположительные целые числа
Неположительные целые числа - это отрицательные целые числа и число нуль.
Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.
Примеры неотрицательных целых чисел: 52 , 128 , 0 .
Примеры неположительных целых чисел: - 52 , - 128 , 0 .
Неотрицательное число - это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число - это число, меньшее или равное нулю.
Термины "неположительное число" и "неотрицательное число" используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число a - целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: a - целое неотрицательное число.
Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.
Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще 500 коленвалов, то их количество увеличится. Число 500 как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут 200 деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.
Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число 0 укажет на неизменность количества деталей.
Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).
Понижение температуры на 30 градусов можно охарактеризовать отрицательным числом - 30 , а увеличение на 2 градуса - положительным целым числом 2 .
Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем - 5 монетами. Число 5 описывает размер долга, а знак "минус" говорит о том, что мы должны отдать монеты.
Если мы должны 2 монеты одному человеку, а 3 - другому, то общий долг (5 монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:
2 + (- 3) = - 5
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Натуральные числа - это те числа, с которых когда-то всё началось. И сегодня это первые числа, с которыми встречается в своей жизни человек, когда в детстве учится считать на пальцах или счетных палочках.Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Число 0 не является натуральным. Оно и в истории математики имеет свою отдельную историю и появилось много позже натуральных чисел.]
Множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, ...) обозначают буквой N.
Со сложением всё понятно: сложив любые два натуральных числа, в результате всегда получим тоже натуральное число. А вот в вычитании обнаруживаем, что из меньшего отнять большее так, чтобы в результате получилось натуральное число, мы не можем. (3 − 5 = чему?) Здесь возникает идея отрицательных чисел. (Отрицательные числа уже не являются натуральными)
На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. (Три предмета можно показать на пальцах, десять можно показать, тысячу предметов можно представить по аналогии. А что такое "минус три мешка"? — В то время числа хоть уже и использовались сами по себе, в отрыве от конкретных предметов, количество которых они обозначают, всё ещё были в сознании людей гораздо ближе к этим конкретным предметам, чем сегодня.) Но, как и возражения, так и основной аргумент в пользу отрицательных чисел, пришел из практики: отрицательные числа позволяли удобно вести счет долгам. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна. Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.
В итоге, отрицательные числа появились в математике, и теперь у нас есть бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, ...) и есть такое же количество им противоположных (−1, −2, −3, −4, ...). Добавим к ним ещё 0. И множество всех этих чисел будем называть целыми.
Определение: Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z.
Любые два целых числа можно вычесть друг из друга или сложить и получить в результате целое число.
Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения. Если у нас есть 7 мешков по 6 килограмм, мы можем складывать 6+6+6+6+6+6+6 (семь раз прибавлять к текущей сумме по 6), а можем просто помнить, что такая операция всегда будет давать в результате 42. Как и сложение шести семерок 7+7+7+7+7+7 тоже всегда будет давать 42.
Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения. Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. (Которое распространяется и на десятичные дроби, и которое будет рассматриваться в одной из следующих статей.) При умножении любых двух целых чисел друг на друга всегда получим в результате целое число.
Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма. А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.
А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.
А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42. Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей. В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.
Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.
Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).
Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.
Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби. Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001). Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.
Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).
Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.
При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).
Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).
Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.
Какие же это числа? Мы ещё не рассмотрели операцию возведения в степень. Например, 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Как умножение представляет собой более удобную форму записи и вычисления сложения, так и возведение в степень – это форма записи умножения одного и того же числа самого на себя определенное количество раз.
Но теперь рассмотрим операцию, обратную возведению в степень – извлечение корня. Квадратный корень из 16 – это число, которое в квадрате даст 16, то есть число 4. Квадратный корень из 9 – это 3. А вот квадратный корень из 5 или из 2, например, не может быть представлен рациональным числом. (Доказательство этого утверждения, другие примеры иррациональных чисел и их историю можно посмотреть, например, в Википедии)
В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней). Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное.
Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.
Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.
В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости.
Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом. (Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).)
А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.
